Problema -4 (setembre 1997)

Problema -4, setembre 1997

Una empresa fabrica dues classes de cargols, A i B. En la producció diària se sap que el nombre de cargols de la classe B no supera el nombre de cargols de la classe A més 1000 unitats, que entre les dues classes no superen les 3000 unitats i que els de la classe B no baixen de les 1000 unitats. Sabent que els cargols de la classe A valen 20 pessetes la unitat i que els de la classe B en valen 15, calculeu el cost màxim i mínim que pot valer la producció diària, i digueu amb quants cargols de cada classe s'atenyen aquest màxim i aquest mínim.

Variables	Nombre de cargols	Cost unitari	Total cost
Cargols A x	x	20 pts	20 x
Cargols B y	y	15 pts	15 y
Restriccions	y<= 1000 + x
	y>=1000
	x+y <=3000
Inequacions	y<= 1000 + x y>=1000 x+y <=3000		Funció objectiva: 20x + 15 y

a) per al màxim 2000 cargols de la classe A, 1000 de la classe B amb un cost de 55000 pessetes.

b) Per a la producció mínima 1000 cargols de la classe B amb un cost de 15 pessetes.

Problema -3 ( setembre 1997)

Problema -3, setembre 1997

En un magatzem hi 100 caixes de tipus A i 100 caixes de tipus B, Les de tipus A pesen 100 kg, tenen una capacitat de 30 decímetres cúbics i tenen un valor de 75000 pessetes. Les de tipus B pesen 200 kg, tenen una capacitat de 40 decímetres cúbics i un valor de 125.000 pessetes. Un camió pot carregar un pes màxim de 10 tones i un volum màxim de 2.400 decímetres cúbics. A més li han dit al xofer que el nombre de caixes de tipus A que carregués no fos el doble de les de tipus B que carregués. Quantes caixes de cada mena ha de carregar el camió per tal que l'import de la mercaderia que porti sigui màxim?

Variables	Nombre de caixes	Pes	Volum	Encàrrec	Guany unitari	Total guany
Caixes A x	x	100x	30x		75000 pts	75000x
Caixes B y	y	200y	40y		125000 pts	125000y
Restriccions	x<=100	<=10000	<=2400	x<=2y
	y<=100	100x+200y	30x+40y
Inequacions		100x+200y <=10000	30x+40y <=2400	x<=2y		Funció objectiva: 75000x + 125000 y

La càrrega de màxim valor és de 40 caixes de tipus A i de 30 de tipus B amb un valor de 6.750.000 pessetes.

Problema 6 (setembre 2000)

Problema 6, setembre 2000

En una refineria es produeixen dos tipus de fertilitzants a partir de quatre compostos: nitrogen, àcid fosfòric, potassi soluble i guano. A la taula següent s'expressa la composició per bidó d'aquests dos fertilitzants:

	Nitrogen	Àcid fosfòric	Potassi	Guano
Fertilitzant 1	20 litres	30 litres	30 litres	20 litres
Fertilitzant 2	10 litres	10 litres	60 litres	20 litres

L'empresa disposa de 900 litres de nitrogen i de 1400 litres de guano, i les quantitats dels altres dos components no estan limitades, encara que a causa del gran estoc existent d'aquests productes cal utilitzar almenys 600 litres d'àcid fosfòric i 1800 litres de potassi. Cada bidó de fertilitzant 1 suposa un benefici de 6 €, i de 5 € cada bidó de l'altre fertilitzant, Trobeu quina quantitat de fertilitzant de cada classe cal produir per obtenir un benefici màxim.

Variables	Nitrogen	Àcid fosfòric	Potassi	Guano	Guany unitari	Total guany
Fertilitzant 1 x	20x	30x	30x	20x	6 €	6x €
Fertilitzant 2 y	10y	10y	60y	20y	5 €	5 y €
Restriccions	<=900	>= 600	>= 1800	<=1400
	20x+10y	30x+10y	30x+60y	20x+20y
Inequacions	20x+10y <=900	30x+10y >=600	30x+60y >= 1800	20x+20y <=1400		Funció objectiva: 6x + 5 y

La solució més beneficiosa és fabricar 20 bidons de fertilitzant 1 i 50 de fertilitzant 2 amb un benefici de 370 €.

Problema 7 (juny 2001)

Problema 7, juny 2001

En un taller de confecció es disposa de 80 metres quadrats de tela de cotó i de 120 metres quadrats de tela de llana. Es fan dos tipus de vestits, A i B. Per fer un vestit de tipus A es necessita 1 metre quadrat de cotó i 3 metres quadrats de llana; en canvi per un vestit de tipus B calen 2 metres quadrats e cada tipus de tela.

a) Quants vestits de cada tipus s'han de fer per obtenir un benefici total màxim si per cada vestit sigui del tipus que sigui es guanyen 30 €?

b) Quina seria la conclusió a la pregunta anterior si per cada vestit del tipus A es guanyen 30 € i, en canvi per cada un del tipus B només es guanyen 20 €.

a)

Variables	tela cotó	tela llana		guany unitari	Total guany
Vestit A x	x	3x		30 €	30x €
Vestit B y	2y	2y		30 €	30y €
Restriccions	<=80	<= 120
	x+2y	3x+2y
Inequacions	x+2y <=80	3x+2y <=120			Funció objectiva: 30x+30y

20 vestits del tipus A i 30 del tipus B amb un benefici de 1500 €

b) En aquest cas només canvia la funció objectiva

Variables	tela cotó	tela llana		guany unitari	Total guany
Vestits A x	x	3x		30 €	30x €
Vestits B y	2y	2y		30 €	20y €
Restriccions	<=80	<= 120
	x+2y	3x+2y
Inequacions	x+2y <=80	3x+2y <=120			Funció objectiva: 30x+20y

Observem que hi ha dos vèrtex amb el mateix valor de la funció objectiva 1200 €. Qualsevol valor inermig també és solució.

Problema 8 (setembre 2001)

Problema 8, setembre 2001

Un pastisser té 150 kg de farina, 22 kg de sucre i 26 kg de mantega per fer dos tipus de pastissos. Es necessiten 3 kg de farina, 1 de sucre i 1 de mantega per fer una dotzena de pastissos del tipus A, mentre que les quantitats per una dotzena del tipus B són, respectivament 6 kg, 0,5 kg i 1 kg. Si el benefici que s'obté per la venda d'una dotzena de pastissos del tipus A és de 20 € i per una dotzena de tipus B 30 €, trobeu el nombre de dotzenes de pastissos de de cada tipus que ha de produir per maximitzar els seu benefici.

Variables	farina	sucre	mantega	guany dotzena	Total guany
dotzenes A x	3x	x	x	20 €	20x €
dotzenes B y	6y	0,5y	y	30 €	30y €
Restriccions	<=150	<= 22	<=26
	3x+6y	x+0,5y	x+y
Inequacions	3x+6y <=150	x+0,5y <=22	x+y <=26		Funció objectiva: 20x+30y

18 dotzenes de pastissos A i 8 de pastissos B amb un benefici de 600 €

Problema 9 ( juny 2002)

Problema 9, juny 2002

En una prova es proposen 10 qüestions de 5 punts i 8 qüestions de 10 punts i es dona un temps de 100 minuts. Només es valoren els encerts; els errors o respostes en blanc no resten puntuació.
L'Anna que està capacitada per contestar correctament totes les qüestions necessita 4 minuts de mitjana per respondre a cada qüestió de 5 punts i 10 minuts per a respondre a cada qüestió de 10 punts.

Quina estratègia ha de seguir l'Anna (és a dir, quantes preguntes de cada tipus ha de contestar) per obtenir la millor puntuació possible en les seves condicions?

Variables	quest 5 p.	quest 10 p.	temps	Total punts
qüestions 5 (nombre x)	5x		4	5x
qüestions 10(nombre y)		10y	10	10y min
Restriccions	<=10	<= 8	<=100
			4x+10y
Inequacions	x<=10	y<=8	4x+10y <=100	Funció objectiva: 5x+10y

10 exercicis de 5 punts i 6 de 10 de punts amb una puntuació de 110 punts

Problema 10 (setembre 2002)

Problema 10, setembre 2002

Un entusiasta de la salut vol tenir un mínim de 36 unitats de vitamina A al dia, 28 unitats de vitamina C i 32 unitats de vitamina D. Cada pastilla de la marca 1 costa 0,03 € i proporciona 2 unitats de vitamina A, 2 de C i 8 de D. Cada pastilla de la marca 2 costa 0,04 € i proporciona 3 unitats de vitamina A, 2 de C i 2 de D. Quantes pastilles de cada marca haurà de comprar per a cada dia si vol cobrir les necessitats bàsiques amb el menor cost possible

Variables	Vit A	Vit C	Vit D	Cost unitari	Cost diari
pastilles 1 (nombre x)	2	2	8	0,03 €	0,03 x €
pastilles 2(nombre y)	3	2	2	0,04 €	0,04y €
Restriccions	>=36	>=28	>=32
	2x+3y	2x+2y	8x+2y
Inequacions	2x+3y >=36	2x+2y >=28	8x+2y >=32		Funció objectiva: 0,03x + 0,04y

6 pastilles del tipus 1 i 8 del tipus 2 amb un cost diari de 0,5 €