Problema 7 (juny 2001)

Problema 7, juny 2001

En un taller de confecció es disposa de 80 metres quadrats de tela de cotó i de 120 metres quadrats de tela de llana. Es fan dos tipus de vestits, A i B. Per fer un vestit de tipus A es necessita 1 metre quadrat de cotó i 3 metres quadrats de llana; en canvi per un vestit de tipus B calen 2 metres quadrats e cada tipus de tela.

a) Quants vestits de cada tipus s'han de fer per obtenir un benefici total màxim si per cada vestit sigui del tipus que sigui es guanyen 30 €?

b) Quina seria la conclusió a la pregunta anterior si per cada vestit del tipus A es guanyen 30 € i, en canvi per cada un del tipus B només es guanyen 20 €.

a)

Variables	tela cotó	tela llana		guany unitari	Total guany
Vestit A x	x	3x		30 €	30x €
Vestit B y	2y	2y		30 €	30y €
Restriccions	<=80	<= 120
	x+2y	3x+2y
Inequacions	x+2y <=80	3x+2y <=120			Funció objectiva: 30x+30y

20 vestits del tipus A i 30 del tipus B amb un benefici de 1500 €

b) En aquest cas només canvia la funció objectiva

Variables	tela cotó	tela llana		guany unitari	Total guany
Vestits A x	x	3x		30 €	30x €
Vestits B y	2y	2y		30 €	20y €
Restriccions	<=80	<= 120
	x+2y	3x+2y
Inequacions	x+2y <=80	3x+2y <=120			Funció objectiva: 30x+20y

Observem que hi ha dos vèrtex amb el mateix valor de la funció objectiva 1200 €. Qualsevol valor inermig també és solució.

Problema 8 (setembre 2001)

Problema 8, setembre 2001

Un pastisser té 150 kg de farina, 22 kg de sucre i 26 kg de mantega per fer dos tipus de pastissos. Es necessiten 3 kg de farina, 1 de sucre i 1 de mantega per fer una dotzena de pastissos del tipus A, mentre que les quantitats per una dotzena del tipus B són, respectivament 6 kg, 0,5 kg i 1 kg. Si el benefici que s'obté per la venda d'una dotzena de pastissos del tipus A és de 20 € i per una dotzena de tipus B 30 €, trobeu el nombre de dotzenes de pastissos de de cada tipus que ha de produir per maximitzar els seu benefici.

Variables	farina	sucre	mantega	guany dotzena	Total guany
dotzenes A x	3x	x	x	20 €	20x €
dotzenes B y	6y	0,5y	y	30 €	30y €
Restriccions	<=150	<= 22	<=26
	3x+6y	x+0,5y	x+y
Inequacions	3x+6y <=150	x+0,5y <=22	x+y <=26		Funció objectiva: 20x+30y

18 dotzenes de pastissos A i 8 de pastissos B amb un benefici de 600 €

Problema 9 ( juny 2002)

Problema 9, juny 2002

En una prova es proposen 10 qüestions de 5 punts i 8 qüestions de 10 punts i es dona un temps de 100 minuts. Només es valoren els encerts; els errors o respostes en blanc no resten puntuació.
L'Anna que està capacitada per contestar correctament totes les qüestions necessita 4 minuts de mitjana per respondre a cada qüestió de 5 punts i 10 minuts per a respondre a cada qüestió de 10 punts.

Quina estratègia ha de seguir l'Anna (és a dir, quantes preguntes de cada tipus ha de contestar) per obtenir la millor puntuació possible en les seves condicions?

Variables	quest 5 p.	quest 10 p.	temps	Total punts
qüestions 5 (nombre x)	5x		4	5x
qüestions 10(nombre y)		10y	10	10y min
Restriccions	<=10	<= 8	<=100
			4x+10y
Inequacions	x<=10	y<=8	4x+10y <=100	Funció objectiva: 5x+10y

10 exercicis de 5 punts i 6 de 10 de punts amb una puntuació de 110 punts

Problema 10 (setembre 2002)

Problema 10, setembre 2002

Un entusiasta de la salut vol tenir un mínim de 36 unitats de vitamina A al dia, 28 unitats de vitamina C i 32 unitats de vitamina D. Cada pastilla de la marca 1 costa 0,03 € i proporciona 2 unitats de vitamina A, 2 de C i 8 de D. Cada pastilla de la marca 2 costa 0,04 € i proporciona 3 unitats de vitamina A, 2 de C i 2 de D. Quantes pastilles de cada marca haurà de comprar per a cada dia si vol cobrir les necessitats bàsiques amb el menor cost possible

Variables	Vit A	Vit C	Vit D	Cost unitari	Cost diari
pastilles 1 (nombre x)	2	2	8	0,03 €	0,03 x €
pastilles 2(nombre y)	3	2	2	0,04 €	0,04y €
Restriccions	>=36	>=28	>=32
	2x+3y	2x+2y	8x+2y
Inequacions	2x+3y >=36	2x+2y >=28	8x+2y >=32		Funció objectiva: 0,03x + 0,04y

6 pastilles del tipus 1 i 8 del tipus 2 amb un cost diari de 0,5 €

Problema 18 (juny 2004)

Problema 18, juny 2004

Un grup de segon de batxillerat d'un institut està format per 20 noies i 10 nois, que volen organitzar un viatge de fi de batxillerat. A fi de recollir diners, troben una feina de fer enquestes. L'empresa contracta equips de joves per fer enquestes durant les tardes lliures que poden ser de dos tipus:

A: parelles d'un noi i una noia.

B: equips de tres noies i un noi.

Paguen a 40 € la tarda dels equips A i a 90 € la tarda dels equips B.

Com els convé distribuir-se per obtenir la major quantitat de diners?

Quina quantitat de diners obtindran per tarda treballada?

Variables	Nois	Noïes	Totals	Guany unitari	Beneficis
parelles A (nombre x)	1	1	Total nois x+y	40 €	40x €
Equips B (nombre y)	1	3	Total noies x+3y	90 €	90y €
Restriccions	<=10	<=20	x+y <=10
			x +3y<=20
Inequacions			x+y <=10 x +3y<=20		Funció objectiva: 2x+ y

5 equips A i 5 equips B amb uns guanys diaris de 660 €.

Problema 19 (juny 2004)

Problema 19 (juny 2004)

Un taller de confecció fabrica dos models de vestits. Per al model A es necessiten 2 m de teixit de color, 1 m de teixit blanc i 4 hores de feina. Per fer el model B es necessiten 2,5 m de teixit de color, 0,5 m de teixit blanc i 3 hores de feina. El taller disposa, cada dia, d'un màxim de 250 m de teixit de color, 100 m de teixit blanc i 380 hores de feina.

a) Siguin x i y el nombre de vestits dels tipus A i B respectivament fets cada dia.
Expresseu les condicions anteriors mitjançant un sistema d'inequacions en x i y.
b) Representeu la regió del pla determinada per aquest sistema.
c) La venda d'un vestit del model A porta al taller un benefici de 5 €, i la d'un vestit del model B, de 4 €, Suposant que la producció diària es ven integrament, quants vestits de cada tipus cal fer per tal d'obtenir el màxim benefici? Qunat val el benefici màxim?

d) En aquest últim cas, quin tipus de teixit sobrarà i en quina quantitat?

Variables	Teixit de color	Teixit blanc	Hores de feina	Benefici unitari	Beneficis
Model A (nombre x)	2 x	x	4x	5 €	5x €
Model B (nombre y)	2,5 y	0.5 y	3y	4 €	4y €
Restriccions	2x+2.5y <=250	x + 0.5 y <=100	4x+3y <=380
Inequacions	2x+2.5y <=250	x + 0.5 y <=100	4x+3y <=380		Funció objectiva: 5x+ 4y

Sobraran 26 m de teixit blanc

Problema 23 (juny 2005)

En una empresa es fabriquen dos tipus de peces que anomenarem A i B. Per fabricar una peça del tipus A es necessiten 2 quilos de metall i per fer-ne una de tipus B, 4 quilos de metall. L'empresa disposa com a màxim de 100 quilos de metall i no pot fabricar més de 40 peces del tipus A ni més de 20 de tipus B.

a) Doneu un sistema d'inequacions que representi les restriccions en la fabricació que té l'empresa.

b) Determineu gràficament els punts del pla que verifiques aquest sistema.

c) D'entre les solucions obtingudes, quins són els possibles valors de peces de cada tipus si es volen exhaurir els 100 quilos de material. Expliqueu detalladamant què feu per trobar-los.

Variables	Model A màxim	Model B màxim		Metall unitari	Metall gastat
Peces A (nombre x)	x			2 quilos	2x quilos
Peces B (nombre y)		y		4 quilos	4y quilos
Restriccions	x <= 40	y <=20
Inequacions	x <= 40	x <=12			Funció objectiva: 2x+4 y -100=0

Problema 25 (juny 2005)

Un taller pot produir per dia com a màxim 12 articles del tipus A i 20 del tipus B. Cada dia el servei tècnic pot controlar un mínim de 20 articles i un màxim de 25, independentment del tipus.

a) Siguin x i y el nombre d'articles produits per dia dels tipus A i B, respectivament.
Expresseu les condicions anteriors mitjançant un sistema d'inequacions en x i y.
b) Representeu la regió del pla determinada per aquest sistema.
c) Sabem que el benefici de produir els articles de tipus A és el doble del que s'obté amb els articles de tipus B. Trobeu quants artcicles de cada tipus ha de produir el taller per obtenir el benefici màxim.

Variables	Control diari	Model A màxim	Model B màxim	Benefici unitari	Beneficis
Article A (nombre x)	x	x		2 €	2x €
Article (nombre y)	y		y	1 €	y €
Restriccions	x+y >=20	x <=12	y <=20
	x+y <=25
Inequacions	x+y >=20 x+y <=25	x <=12	y <=20		Funció objectiva: 2x+ y

Problema 27 (setembre 2005)

Problema 27 setembre 2005

Una empresa de telefonia mòbil fabrica dos models de telèfon: A i B. El nombre total de telèfons fabricats mensualment no supera els 3000. També sabem que sempre es fabriquen almenys 1000 unitats de telèfons A i que la meitat dels telèfona A no supera la tercera part desl telèfons B. Si els telèfons A generen un benefici de 40 € per unitat i els B generen un benefici de 20 € per unitat, trobeu la quantitat de cada classe que s'ha de fabricar per obtenir un bebefici màxim i també aquest benefici màxim.

Variables	Total mensual	Model A mínim	Relació	Benefici unitari	Beneficis
Model A (nombre de telfs x)	x	x	x/2	40 €	40x €
Model B (nombre de telfs y)	y		y/3	20 €	20y €
Restriccions	x+y <=3000	x >=1000	(x/2)<= (y/3)
			3x <= 2y
Inequacions	x+y <=3000	x>=1000	3x <= 2y		Funció objectiva: 40x+ 20y

Problema 29 (juny 2006)

Problema 29 juny 2006

Els alumnes d'un institut disposen de 300 samarretes, 400 llapis i 600 bolígrafs per finançar-se un viatge. Tenen la intenció de vendre'ls en dos tipus de lots: el lot A consta d'1 samarreta, 3 llapis i 2 bolígrafs i el venen per 9€. El lot B consta d'1 samarreta, 2 llapis i 4 bolígrafs i el venen per 11€.

Calcula quants lots de cada tipus han de vendre per treure'n el benefici màxim i aquest benefici màxim.

Variables	Samarretes	Llapis	Bolígrafs	Preu unitari	Preu lots
Lots A (nombre de lots x)	1	3	3	9 €	9x €
Lots B (nombre de lots y)	1	2	4	11 €	11y €
Restriccions	<=300	<=400	<=600
Totals	x+y	3x+2y	3x+4y		9x + 11y
Inequacions	x+y <=300	3x+2y <=400	3x+4y <=600		Funció objectiva: 9x+ 11y

Problema 33 (setembre 2006)

Problema 33 (setembre 2006)

En un jardí municipal es volen plantar un mínim de 1.200 geranis, 3.200 clavells i 3.000 margarides. Una empresa A ofereix un lot que conté 30 geranis, 40 clavells i 30 margarides per 15 €. Una altre empresa B ofereix un lot de 10 geranis, 40 clavells i 50 margarides per 12 €. L'ajuntament compra x lots a l'empresa A i y lots a l'empresa B

a) Determineu les inequacions que representen les restriccions a les quals estan sotmesos els valors de x i de y per tal que compleixin les condicions de la plantació.
b) Representeu gràficament la regió del pla que satisfà les inequacions.
c) Trobeu el nombre de lots de cada tipus que fan que la despesa sigui mínima i calculeu aquesta despesa mínima.
d) Trobeu quants geranis, clavells i margarides adquireix l'Ajuntament amb la compra de preu mínim i quantes plantes i de quin tipus haurà adquirit per sobre del mínim que vol plantar.

Puntuació de cada apartat: 1 punt. Tots: 4 punts

Variables	Geranis	Clavells	Margarides	Preu unitari	Preu lots
Empresa A (nombre de lots x)	30	40	30	15 €	15 x €
Empresa B (nombre de lots y)	10	40	50	12 €	12y €
Restriccions	>= 1200	>=3200	>=3000
Totals	30x + 10y	40 x + 40y	30x + 50y		15x + 12y
Inequacions	30x + 10y >= 1200	40x + 40y >=3200	30x + 50y >=3000		Funció objectiva: 15x + 12y